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1加1为什么等于2(一加一等于二是谁证明出来的)

基于皮亚诺公理，本文将详细介绍自然数的数学属性和基本性质，并证明推论1 1 = 2 。本文不涉及任何高等数学知识，适合任何学历的读者 。
1 1 = 2
引言
在上一篇文章中，我们详细介绍了一些基本数学术语的概念和区别 。对于大多数学生来说，自然数集是学习数学时首先接触的范畴，也是最基本的数学知识之一 。是皮亚诺公理构造了自然数，定义了自然数的算术属性，也就是说1 ^ 1 = 2这样的公式是可以证明的 。接下来将介绍几个重要的数学概念，并介绍皮亚诺公理 。
自然数
等价关系
在集合s中，一个二元关系~称为等价关系当且仅当它具有自反性、对称性和传递性 。换句话说，~是等价的当且仅当对于任意a，b，c属于S:
A ~ a(反身性)
A ~ b当且仅当b ~ a(对称)
如果a ~ b和b ~ c，那么a ~ c(传递性)
【1加1为什么等于2(一加一等于二是谁证明出来的)】
相当
相等
数学上，如果两个量有相同的值，或者更一般地说，两个数学表达式表示同一个数学对象，那么这两个量或数学表达式之间的关系就叫做相等 。A和B的相等可以表示为A = B，其中的符号“=”称为等号 。
根据几何元素中的第一条公理:
公理1:与同一事物相等的事物会彼此相等 。
不难验证，平等是一种等价关系 。平等概念在皮亚诺公理中占有重要地位 。
自然数
自然数是指用来衡量事物数量或事物顺序的数 。根据国际标准化组织制定的标准ISO 80000-2，自然数集是一组非负整数(正整数和零的集合)，用N表示:
N = { 0，1，2，3，… }
ISO定义的自然数集
皮亚诺公理（Peano axioms）
皮亚诺公理定义了自然数的算术属性 。这组公理涉及一个常数符号0和一个一元函数s，需要注意的是自然数集合中的元素及其符号不是由皮亚诺的公理定义的，而是由国际标准化组织定义的 。如果自然数集合中的一些常数符号被重写(比如所有的1都被其他符号代替)，会违反国际标准化组织定制的标准，但不会影响皮亚诺公理定义的算术属性 。但是，只有符号的集合并不能描述元素之间的本质，这就是皮亚诺公理的重要性 。
首先，自然数集可以是空集吗？这显然不合理 。所以有了第一条公理:
公理1: 0是自然数 。
一个公理陈述自然数集不是空并且具有元素0 。但是只有一个元素0不能形成自然数集 。我们还需要解释，每一个自然数后面都必须跟着另一个自然数 。我们借助一元函数S来描述第二个公理:
公理2:对于任意自然数n，S(n)都是自然数 。
我们称一元函数S为后继函数，自然数S(n)是自然数n的后继数，S函数实际上描述的是自然数集合中每个自然数与其后继数之间的对应关系 。公理2表明自然数接近S，根据映射规则，每个自然数n对应一个唯一的后继数S(n) 。然后从0开始，S(0)是0的后继数，S(0)作为自然数也有它的后继数S(S(0))，如此不断重复 。因此，我们用一个直观的图形来描述自然数的结构如下:
中理想自然数的结构
其中我们定义箭头从自然数n指向它的后继数S(n) 。
那么问题就来了 。s (0)的后继数S(0) = 0怎么办？在这种情况下，自然数集合只由0组成，箭头始终指向0，如下图所示 。
仅满足公理一和公理二的反例
另外，0可以是自然数的后继吗？在这种情况下，自然数不是从0开始的，如下图所示 。
仅满足公理一和公理二的反例
对于这两种情况，我们可以归结为是否存在自然数n，使得它的后继数S(n)等于0？这显然不合理 。因此，第三个公理陈述如下:
公理3:没有自然数n，所以S(n) = 0 。
三个公理表明0不是任何自然数的后继 。由于S(0)不等于0，根据国际标准化组织定制的标准，我们将S(0)记为1，它是0的后继 。那我们继续想，S(1)等于什么？S(1)能等于0吗？三个公理告诉我们，S(1)不等于0；S(1)能等于1吗？目前还没有办法否定这种情况，但是在那种情况下，自然数可以是只包含0和1两个元素的集合，并且s (0) = 1，S(0) = 1，S(1) = 1，如下图所示:
仅满足前三个公理的反例
另外，1可以是几个自然数的后继吗？如下图所示:
仅满足前三个公理的反例
这两种情况有一个共同的特点，就是同一个后继数对应多个自然数，破坏了映射中内射性的条件 。因此，我们只需要给映射s加上内射性的条件 。第四个公理陈述如下:
公理4:对于任意自然数m，n，S(m) = S(n)当且仅当m = n 。
根据公理4，S(1)永远不能为1，否则S(0) = S(1) = 1，这违反了公理4 。根据国际标准化组织定制的标准，我们将S(1)记为2，它是1的后继 。同样，S(2)也不可能是0或1或2 。我们也可以用3来表示S(2)，这个过程可以无限地进行下去 。这是因为每个标记的后续数不能是0，也不能是之前标记的任何数，否则就违反了公理四，所以只能是新数 。


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