1加1为什么等于2(一加一等于二是谁证明出来的)( 二 )
这四个公理所确定的自然数集合仍然存在漏洞，例如:
仅满足前四个公理的反例
在这种情况下，0，1，2，…仍然属于自然数，但它有另一条以n0为首的长链，这两条链没有共同元素 。这种结构符合公理1至公理4并不难验证，但显然不是我们要定义的自然数集的结构 。为了消除这种情况，我们只需要从0开始，继续取连续数，最后就可以遍历自然数集了 。五个公理陈述如下:
公理5(归纳公理):如果集合K是自然数集合N的子集，它满足:
1.0属于k 。
2.对于任何属于K的n，都有S(n)属于K 。
那么集合k等于自然数集合n .
归纳公理通常有另一种表达方式:
公理5(归纳公理):若f是单参数判断公式，则满足:
1.f(0)为真
2.对于任意自然数n，如果f(n)为真，则f(S(n))为真 。
那么对于任意自然数n，f(n)为真 。
归纳公理保证了数学归纳的正确性 。这五个公理严格定义了自然数的算术属性 。
自然数的加法和乘法运算
而加法和乘法是二元运算，换句话说，是将两个自然数映射到另一个自然数的函数 。
其中，加法的递归定义为:
对于任意一个a，b属于N，
0 a = a，
S(a) b = S(a b)
类似地，乘法的递归被定义为:
对于任意一个a，b属于N，
一个x 0 = 0，
a x S(b) = ab a
1 1 = 2 的证明
加法和乘法的性质
以下是自然数加法和乘法的一些常见性质，并附有证明 。
引理:对于任意自然数n，S(n)= n ^ 1
引理:对于任意自然数n，n 0 = n
加法结合律:对于任意自然数a，b，c，
a b c = a b c
加法交换律:对于任意自然数m，n，
m n = n m
引理:对于任意自然数n，0 x n = 0
引理:对于任意自然数m，n，s (m) n = Mn n 。
乘法分配律:对于任意自然数a，b，c，
a ( b c ) = ab ac
乘法和结合律:对于任意自然数a，b，c，
c = a(公元前)
乘法换元法:对于任意自然数m，n，
mn = nm
至此，本文介绍了皮亚诺公理、自然数的算术性质和基本性质，并证明了推论1 ^ 1 = 2 。希望你能对自然数有更深的理解 。
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