概率论和统计学中重要的分布函数 _分布函数

随机变量在概率空间中遵循不同类型的分布，这决定了它们的特征并有助于预测。
本文内容列表：
· 引言
· 高斯/正态分布（Gaussian/Normal Distribution）
· 二项分布(Binomial Distribution)
· 伯努利分布(Bernoulli Distribution)
· 对数正态分布(Log Normal Distribution)
· 幂律分布(Power Law Distribution)
· 分布函数的使用
引言每当我们遇到任何概率实验，我们谈论的是随机变量，它只不过是获取实验预期结果的变量。例如，当我们掷骰子时，我们期望从集合{1,2,3,4,5,6}中得到一个值。所以我们定义了一个随机变量X，它在每次掷骰时取这些值。
根据实验的不同，随机变量可以取离散值，也可以取连续值。骰子的例子是离散随机变量，因为它取一个离散值。但是假设我们讨论的是某个城镇的房价，那么相关的随机变量可以取连续的值（例如550000美元，1200523.54美元等等）。
当我们将随机变量的期望值与实验中出现频率的关系图绘制出来时，我们得到了一个直方图形式的频率分布图。利用核密度估计对这些直方图进行平滑处理，得到了一条很好的曲线。这条曲线被称为"分布函数" 。

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橙色平滑曲线是概率分布曲线
高斯/正态分布高斯/正态分布是一个连续的概率分布函数，随机变量在均值（μ）和方差（σ²）周围对称分布。

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高斯分布函数
平均值（μ）：决定峰值在X轴上的位置。而且，所有数据都对称地位于X=μ线的两侧。如图所示，蓝色、红色和黄色曲线分布在X=0的两侧，而绿色曲线的中心位于X=-2 。所以通过观察这些曲线，我们可以很容易地说，蓝色，红色和黄色的平均值是0，而绿色的平均值是-2 。
方差（σ²）：决定曲线的宽度和高度。方差只不过是标准差的平方。请注意，图中给出了所有四条曲线的σ²值。现在不看数值，我们可以很直观地发现，黄色曲线的高度最低。

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如果我们设置μ=0和σ=1，则称为标准正态分布或标准正态变量，一般表达式变为：

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标准正态分布函数
现在我们可以思考，分母意味着什么？这是为了确保正态分布曲线下的面积总是等于1 。
我们从正态分布中可以得到很多有用的数据分割信息。以下图为例：

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正态分布的值分割图
如图所示，如果我们从平均值右移一个标准差，这个分布存储了总质量的34.1%；如果我们从平均值右移2个标准偏差，则为49.8% 。因为这条曲线是对称的，所以两边都适用。
所以，现在我们知道了，如果任何数据服从正态分布，例如城镇人口的权重，我们可以很容易地估计出很多值，而不需要进行实际的广泛分析。这就是正态分布的力量。
二项分布（Binomial Distribution）正如我们在名字里看到的，有一个"Bi" 。这个'Bi'代表一个实验的2个结果，要么是肯定的，要么是失败的，要么是1或者0等等。最简单的说，这个分布是多次重复实验的分布以及它们的概率，其中预期结果要么是"成功"要么是"失败" 。

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二项分布
从图像上可以看出，它是一个离散的概率分布函数。主要参数为n（试验次数）和p（成功概率）。
现在假设我们有一个事件成功的概率p，那么失败的概率是（1-p），假设你重复实验n次（试验次数=n）。那么在n个独立的伯努利试验中获得k个成功的概率是：

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二项分布函数
其中k属于范围[0，n]，并且：

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【概率论和统计学中重要的分布函数】
现在我们思考一个简单的问题。假设印度和澳大利亚之间正在进行板球比赛。Rohit Sharma已经得到了151分，根据你的经验，你知道150分之后，Rohit有0.3分的概率达到6分。这是最后一节了，你父亲问你Rohit有多大的机会能打4个全垒打。那你怎么判断呢？