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有限元模型 有限元分析法( 二 )


扩展信息:
有限元法的核心思想
有限元法是建立在现代计算机迅速发展基础上的一种近似数值方法，用于求解力学和数学中具有特定边界条件的偏微分方程问题(PDE) 。这些偏微分方程是工程实践中固体力学和流体力学常见问题的基础 。
有限元和计算机的发展共同构成了现代计算力学的基础 。有限元法的核心思想是“数值逼近”和“离散化”，所以它在历史上的发展也是围绕这两点 。
1.“数值近似值”
因为在有限元法发明之前，工程问题中的所有力学问题和偏微分方程都只能用简单的解析解来求解 。这种方法需要大量的数学计算，并且严重依赖于一些理想化的假设 。
比如土木工程中梁、柱计算中的平截面假设、小应变假设、理想塑性假设等等 。这些假设实际上与实际工程问题大相径庭 。一旦工程问题稍微复杂一点，直接得不到解析解，或者解析解的答案误差太大 。
有限元法是将复杂的整体结构离散成有限元，然后将这种理想化的假设和力学控制方程应用于结构中的每个单元，再通过单元分析和组装得到结构的总刚度方程，再通过边界条件和其他约束得到结构的总响应 。
整体结构中各单元的响应可以通过整体响应的一一映射得到，避免了直接建立复杂结构的力学和数学模型 。整个过程可以描述如下:
整体结构的离散化-单元的力学分析-单元的装配-整体结构的分析-边界条件的应用-获得结构的整体响应-结构中一个单元的响应分析 。
在单元分析和内部响应分析过程中，采用形函数插值和高斯求积来逼近单元中任意一点的响应，这是有限元数值逼近的重要体现
一般来说，形函数的阶数越高，逼近精度越高，但需要更多的单位控制点和高斯积分点 。另外，细胞分裂越细，近似结果越准确 。但上述两种方法提高有限元精度的代价是计算的几何倍数增加 。
为了提高数值逼近的精度和最小化计算量，有限元方法经历了许多发展和改进 。下图是典型的有限元问题 。由于模型中间孔洞的几何不规则性，结构采用有限三角形单元划分 。
由于外区结构响应变化不大，划分的单元相对较大且粗糙，而内区应力变化较大，划分相对较细 。另一方面，左侧单元划分的最密集区域存在应力集中现象(如裂纹问题的奇异解现象)，因此有相应的先进理论(如非局部理论)来指导这部分单元的应力应变计算 。
结构有选择地离散化，先进的理论构成了有限元发展的主要研究方向 。
2."离散化"
离散化以及研究相应单元的特性和收敛性也是有限元的一个重要研究领域 。一般来说，整体结构的有限元及其装配主要分为:
一维单元(一维单元)杆单元-桁架梁单元-框架板单元-壳体 。
二维单元-平面应力单元和平面应变单元三角形单元四边形单元多边形单元 。
三维元素-三维问题，四面体元素，立方体元素，多面体元素 。
具体分类和单元形状见下图 。
可以看出，每个元素都可以提高形状函数(控制点)的阶数，从而提高精度 。许多有限元研究也集中在这个领域 。
比如在结构的动力响应中引入新的单元来减少数值振荡，比如用三维单元模拟梁单元 。其实理论上这个领域可以有无限的可能性，因为对精度和数值稳定性的追求可以是无限的 。
3.“光滑边界”和与CAD的交互 。
其实这并不是有限元的核心思想，而是现在有限元研究的热点领域，也就是休斯提出的“NURBS”有限元法，其原理是用空之间的样条曲线划分单元 。
如第一图所示，传统有限元法在处理不规则边界时通常由许多单元组成，用三角形单元和多边形单元求解，单元的控制点都与单元在同一平面上 。
而NURBS单元的控制点与单元本身是分离的，利用B样条理论可以将单元的光滑性提高到连续，计算量不会明显增加 。
开发NURBS的另一个好处是，建模常用的CAD软件都是基于B样条的，NURBS只用B样条作为基础 。
所以CAD和NURBS之间的交互可以非常简单高效，甚至是无缝的 。所以工业中非常复杂的模型都可以用CAD建模，然后用NURBS计算，如下图所示 。
目前大量的有限元论文都来自这一领域，因为有限元的基础理论已经基本成熟和稳健，用高性能计算机模拟大型、高度复杂的结构也是有限元发展的一个主要方向 。
百度百科“有限元法”
什么是「有限元分析方法」？有限元分析(FEA)的基本概念是在解决复杂问题之前用更简单的问题来代替它们 。它把求解域看成由许多相互关联的称为有限元的子域组成，对每个单元假定一个合适的(相对简单的)近似解，然后推导出求解这个域的一般满足条件(如结构平衡条件)，从而得到问题的解 。这个解不是精确解，而是近似解，因为实际问题被一个更简单的问题代替了 。由于大多数实际问题很难得到精确解，有限元法不仅精确，而且能适应各种复杂形状，因此成为工程分析的有效手段 。有限元是一种离散单元，可以共同表示一个实际的连续域 。有限元素的概念在几个世纪前就已经产生和应用，比如用多边形(有限线性元素)近似圆来求其周长，但作为一种方法是最近才提出来的 。有限元法，原名矩阵近似法，应用于飞机空的结构强度计算，因其方便、实用、有效，引起了从事力学研究的科学家的极大兴趣 。经过几十年的努力，随着计算机技术的迅速发展和普及，有限元法已经从结构工程强度分析计算迅速扩展到几乎所有的科技领域，成为一种丰富多彩、应用广泛、实用高效的数值分析方法 。有限元法与其它求解边值问题的近似方法的根本区别在于，它的近似仅限于一个相对较小的子域 。克拉夫教授在20世纪60年代初首次提出了结构力学计算中的有限元概念，形象地描述为“有限元法=瑞利里兹法+分段函数”，即有限元法是瑞利里兹法的一种本土化 。与Rayleigh Ritz法往往难以求解满足全局边界条件的允许函数不同，有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分段函数)，不考虑复杂的全局边界条件，这也是有限元法优于其他逼近方法的原因之一 。对于物理性质和数学模型不同的问题，有限元法的基本步骤是一样的，只是具体的公式推导和运算求解不同 。有限元法求解问题的基本步骤通常如下:第一步:问题和求解域的定义:根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域 。第二步:解域的离散化:将解域近似为由不同有限大小和形状的有限元组成的互联离散域，习惯上称为有限元网络划分 。显然，单元越小(网络越细)，离散域的逼近程度越好，计算结果越精确，但计算量和误差会增加，所以求解域的离散化是有限元方法的核心技术之一 。第三步:确定状态变量和控制方法:一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程来表示 。为了适用于有限元求解，微分方程通常被转换成等价的泛函形式 。第四步:单元求导:为单元构造合适的近似解，即推导有限元的列式，包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方式给出单元状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称为刚度矩阵或柔度矩阵) 。为了保证解题的收敛性，元素的推导要遵循很多原则 。对于工程应用，重要的是要注意每个单元的解题性能和约束条件 。比如元素的形状要规则，不仅精度低，还有漏秩的危险，会导致无法求解 。第五步:组装求解:将单位组装成离散域的总矩阵方程(联立方程组)，反映了离散域对近似解的要求，即单位函数的连续性必须满足一定的连续性条件 。在相邻的单元节点处进行最终装配，在节点处建立状态变量及其导数(如果可能)的连续性 。第六步:解联立方程组并解释结果:有限元法最终得到联立方程组 。联立方程可以用直接法、代换法和随机法求解 。求解结果是单位节点上状态变量的近似值 。对于计算结果的质量，我们将通过与设计准则提供的允许值进行比较来评估和确定是否有必要重复计算 。简而言之，有限元分析可以分为三个阶段，预处理、处理和后处理 。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理是对分析结果进行收集和处理，以便用户能够方便地提取信息和理解计算结果 。


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